题目内容
【题目】在时钟的表盘上作9个
的扇形，每一个都覆盖4个数字，每两个覆盖的数字不全相同.求证：一定可以找到3个扇形，恰好覆盖整个表盘.举一个反例说明，作8个扇形将不具有上述性质.
【答案】见解析
【解析】
证明1 取所作扇形所覆盖的第一个数字（均按顺时针方向计算）记为
，
，…，
. ①
由各个扇形覆盖的数字不全相同知，上述9个数字互不相同.因此，钟面上的12个数字中，还有3个不在①中，记为
，
，
. ②
这样，在①中必存在一个数
，使
关于模4与，，均不同余，这时数组
，
，
（其中
）所对应的三个扇形恰好盖住了钟面上的12个数字.又由的取法知，
，
，
均不属于②，即其所对应的3个扇形属于已作的那9个扇形.
证明2 符合条件的扇形共可作12个：
，
其中
，且，
.
将这12个扇形分成四组：
第一组 
，
，
；
第二组 
，
，
；
第三组 
，
，
；
第四组 
，
，
.
每一组都能覆盖整个表盘.当任作9个扇形时，相当于从上述4组中取出9个元素，由
知，必存在3个元素属于同一组，这同一组的三个扇形便覆盖了整个钟面.
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