题目内容
【题目】如图所示,已知圆的圆心在直线
上,且该圆存在两点关于直线
对称,又圆
与直线
相切,过点
的动直线
与圆
相交于
两点,
是
的中点,直线
与
相交于点
.
(1)求圆的方程;
(2)当时,求直线
的方程;
(3)是否为定值?如果是,求出其定值;如果不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)
或
;(3)是,
.
【解析】
试题分析:(1)借助题设条件构建方程组求解;(2)借助题设建立方程组求解;(3)运用向量的坐标形式的运算推证求解.
试题解析:
(1)由圆存在两点关于直线对称知圆心
在直线
上,
由得
.
设圆的半径为
,因为圆
与直线
相切,
所以.
所以圆的方程为
.
(2)当直线与
轴垂直时,易知
符合题意..
当直线与
轴不垂直时,设直线
的方程为
,
即连接
,则
,
∵,∴
,
由,得
∴直线的方程为
.
∴所求直线的方程为
或
.
(3)∵,∴
,
∴,
当直线与
轴垂直时,得
,则
,又
,
∴
当直线的斜率存在时,设直线
的方程为
,
由,解得
,∴
,
∴
综上所述,是定值,且为-10.
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