题目内容
【题目】在如图所示的几何体中，四边形
为矩形，直线
平面，
，
，
，点
在棱
上.
（1）求证：
；
（2）若是的中点，求异面直线
与
所成角的余弦值；
（3）若
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
(3) 
【解析】试题分析：（1）由
平面
，得
；再由， 
得， 
平面
.（2）先建立空间直角坐标系
，由
，
，利用夹角公式可求异面直线
与
所成角的余弦值.（3）由
得
.再求出平面
和平面
的法向量，即可求得二面角
的余弦值为
.
试题解析：
（1）证明：因为平面，所以，又，所以平面，又
平面，故
.
（2）因为
，所以，又由（1）得，，所以以
为坐标原点，
，
，
所在直线分别为
，
，
轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则
，
，
，
.
所以，，所以
，
所以异面直线与所成角的余弦值为
.
（3）因为
平面，所以平面的一个法向量
，由知
为
的三等分点且此时.在平面中，
，
，所以平面的一个法向量
.
所以
，又因为二面角的大小为锐角，所以该二面角的余弦值为.
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