题目内容
【题目】已知数列
的前
项和为
，且满足
．
（1）求证：数列
为等比数列；
（2）若
，求
的前
项和
．
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】试题分析：（1）利用
，化简得
，故
是等比数列；（2）由于
，相等于一个等差数列乘以一个等比数列，所以考虑用错位相减求和法求前
项和为
.
试题解析：
（1）当
时， 
，解得
；．．．．．．．．．．．．．．．1分
当
时， 
，两式相减得
，．．．．．．．．．．．．．．．．3分
化简得
，所以数列
是首项为1，公比为-1的等比数列．．．．．．．．．．5分
（2）由（1）可得
，所以
，下提供三种求和方法供参考：．．．．．．．6分
【错位相减法】
，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
两式相减得
．．．．．．．．．．．．．．．．9分
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
所以数列
的前
项和
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
【并项求和法】
当
为偶数时， 
；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
当
为奇数时， 
为偶数， 
；．．．．．．．．．．．．11分
综上，数列
的前
项和
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
【裂项相消法】
因为
．．．．．．．．．．．．．．9分
所以
，
所以数列
的前
项和
．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
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