题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调区间;
(2)若,
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(1) 求出函数的导数,通过讨论 的范围,
得增区间,
得减区间; (2)问题转化为
,讨论
的范围,根据函数的单调性求出
的最小值即可求出
的范围.
试题解析:(1).
(i)当时,
,函数
在
上单调递增;
(ii)当时,令
,则
,
当,即
,函数
单调递增;
当,即
时,函数
单调递减.
综上,当时,函数
在
上单调递增;当
时,函数
的单调递增区间是
,单调递减区间是
.
(2)令,由(1)可知,函数
的最小值为
,所以
,即
.
恒成立与
恒成立等价,
令,即
,则
.
①当时,
.(或令
,则
在
上递增,∴
,∴
在
上递增,∴
.
∴).
∴在区间
上单调递增,
∴,
∴恒成立.
②当时,令
,则
,
当时,
,函数
单调递增.
又,
,
∴存在,使得
,故当
时,
,即
,故函数
在
上单调递减;当
时,
,即
,故函数
在
上单调递增,
∴,
即,
不恒成立,
综上所述, 的取值范围是
.
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