题目内容

18.定义:如果函数f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b)满足$f'({x_1})=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$,$f'({x_2})=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$,则称函数f(x)是[a,b]上的“双中值函数”.已知函数f(x)=x3-x2+a是[0,a]上的“双中值函数”,则实数a的取值范围是(  )
A.$(\frac{1}{3},\frac{1}{2})$B.($\frac{3}{2},3$)C.($\frac{1}{2}$,1)D.($\frac{1}{3}$,1)

分析 根据题目给出的定义可得f′(x1)=f′(x2)=$\frac{f(a)-f(0)}{a}$=a2-a,即方程3x2-2x=a2-a在区间(0,a)有两个解,利用二次函数的性质可知实数a的取值范围.

解答 解:由题意可知,∵f(x)=x3-x2+a,f′(x)=3x2-2x
在区间[0,a]存在x1,x2(a<x1<x2<b),
满足f′(x1)=f′(x2)=$\frac{f(a)-f(0)}{a}$=a2-a,
∵f(x)=x3-x2+a,
∴f′(x)=3x2-2x,
∴方程3x2-2x=a2-a在区间(0,a)有两个不相等的解.
令g(x)=3x2-2x-a2+a,(0<x<a)
则,$\left\{\begin{array}{l}{△=4-12(-{a}^{2}+a)>0}\\{g(0)=-{a}^{2}+a>0}\\{g(a)=2{a}^{2}-a>0}\\{0<\frac{1}{3}<a}\end{array}\right.$
解得;$\frac{1}{2}<a<1$.
∴实数a的取值范围是($\frac{1}{2}$,1)
故选:C

点评 本题主要考查了导数的几何意义,二次函数的性质与方程根的关系,属于中档题

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