Question

【题目】设函数f（x）= cos2x+sin2（x+ ）． （Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[﹣ ， ）时，求f（x）的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）= cos2x+sin2（x+ ）． f（x）= cos2x+
f（x）= cos2x+ sin2x+
f（x）=sin（2x+ ）+ ，
最小正周期 ，
∵sinx单调递增区间为[2kπ﹣ ，2kπ+ ]，（k∈Z）
∴2x+ ∈[2kπ﹣ ，2kπ+ ]，（k∈Z）
解得：x∈[ ， ]，（k∈Z）
∴f（x）的最小正周期为π；单调递增区间为[ ， ]，（k∈Z）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=sin（2x+ ）+
∵x∈[﹣ ， ），
∴2x+ ∈[ ， ]，
由三角函数的图像和性质：
可知：当2x+ = 时，f（x）取得最小值，即 =0．
当2x+ = 时，f（x）取得最大值，即 ．
∴x∈[﹣ ， ）时，f（x）的取值范围在
【解析】（Ⅰ）先利用两角和余差的基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（Ⅱ）x∈[﹣ ， ）时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图像和性质，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到f（x）的取值范围．