题目内容
【题目】如图, 为圆
的直径,点
,
在圆
上,
,矩形
和圆
所在的平面互相垂直,已知
,
.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)求直线与平面
所成角的大小;
(Ⅲ)当的长为何值时,二面角
的大小为
.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
.
【解析】试题分析:(1)利用面面垂直的性质,可得平面
,再利用线面垂直的判定,证明
平面
,从而利用面面垂直的判定可得平面
平面
;(2)确定
为直线
与平面
所成的角,过点
作
,交
于
,计算
,即可求得直线
与平面
所成角的大小;(3)建立空间直角坐标系,求出平面
的法向量
,平面
的一个法向量
,利用向量的夹角公式,即可求得
的长.
试题解析:(1)∵平面平面
,
平面平面
,∴
平面
,
∵平面
,∴
,
又∵为圆
的直径,∴
,∴
平面
,
∵平面
,∴平面
平面
(2)根据(1)的证明,有平面
,
∴为
在平面
内的射影,
因此, 为直线
与平面
所成的角,
∵,∴四边形
为等腰梯形,过点
作
,交
于
,
,则
,
在中,根据射影定理
,得
,
,∴
,
∴直线与平面
所成角的大小为30°
(3)
设中点为
,以
为坐标原点,
方向分别为
轴、
轴、
轴方向建立空间直角坐标系(如图).设
,则点
的坐标为
,则
,又
,∴
,
设平面的法向量为
,则
,即
,
令,解得
.
∴.
由(1)可知平面
,取平面
的一个法向量为
,
∴,即
,解得
,
因此,当的长为
时,平面
与平面
所成的锐二面角的大小为60°.....12分
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