Question

【题目】如图，曲线C由上半椭圆C1： =1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为 ．

（1）求a，b的值；
（2）过点B的直线l与C1 ， C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：在C1、C2的方程中，令y=0，可得b=1，且A（﹣1，0），B（1，0）是上半椭圆C1的左右顶点．

设C1：的半焦距为c，由 = 及a2﹣c2=b2=1得a=2．

∴a=2，b=1．

（2）解：由（1）知上半椭圆C1的方程为 +x2=1（y≥0）．

易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠0），

代入C1的方程，整理得

（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0．（*）

设点P（xp，yp），

∵直线l过点B，

∴x=1是方程（*）的一个根，

由求根公式，得xp= ，从而yp= ，

∴点P的坐标为（ ， ）．

同理，由 得点Q的坐标为（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），

∴ = （k，﹣4）， =﹣k（1，k+2），

∵AP⊥AQ，∴ =0，即 [k﹣4（k+2）]=0，

∵k≠0，∴k﹣4（k+2）=0，解得k=﹣ ．

经检验，k=﹣ 符合题意，

故直线l的方程为y=﹣ （x﹣1），即8x+3y﹣8=0．

【解析】（1）在C1、C2的方程中，令y=0，即得b=1，设C1：的半焦距为c，由 = 及a2﹣c2=b2=1得a=2；（2）由（1）知上半椭圆C1的方程为 +x2=1（y≥0），设其方程为y=k（x﹣1）（k≠0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0．（*）设点P（xp ， yp），依题意，可求得点P的坐标为（ ， ）；同理可得点Q的坐标为（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），利用 =0，可求得k的值，从而可得答案．