Question

14．指出函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$在（-∞，-1]上的单调性，并证明之．

Answer 1

分析 可以看出x≤-1时，x减小时，x的减小速度大于$\frac{1}{x}$的增大速度，从而判断出f（x）在（-∞，-1]上为增函数，根据增函数的定义，设任意的x₁＜x₂≤-1，然后作差，通分，提取公因式x₁-x₂，证明f（x₁）＜f（x₂）即可．

解答 解：x≤-1时，$-1≤\frac{1}{x}＜0$；
∴x减小时，x的减小速度要大于$\frac{1}{x}$的增大速度；
∴f（x）在（-∞，-1]上是增函数，证明如下：
设x₁＜x₂≤-1，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}-{x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x₁＜x₂≤-1；
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，$1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，-1]上单调递增．

点评 考查增函数的定义，不等式的性质，根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后，是分式的一般要通分，一般要提取公因式x₁-x₂．