题目内容
4.已知函数f(x)=|1-$\frac{1}{x}$|,(x>0).(1)当0<a<b,且f(a)=f(b),求证:$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=2;
(2)是否存在实数a,b(1≤a≤b),使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a,b],若存在则求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
分析 (1)作出函数f(x)的图象,由图象可得,0<a<1<b,去绝对值,即可得证;
(2)假设存在实数a,b(1≤a≤b),使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a,b],运用单调性,结合方程的解,即可判断.
解答 解:(1)证明:作出函数f(x)的图象,如图:
由图象可得,0<a<1<b,
即有$\frac{1}{a}$-1=1-$\frac{1}{b}$,即为$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=2;
(2)假设存在实数a,b(1≤a≤b),
使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a,b],
由f(x)在[1,+∞)递增,可得f(a)=a,f(b)=b,
即有1-$\frac{1}{a}$=a,1-$\frac{1}{b}$=b,
即a,b为方程1-$\frac{1}{x}$=x的两根,
由1-$\frac{1}{x}$=x即x2-x+1=0无解,
则不存在实数a,b(1≤a≤b),
使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a,b].
点评 本题考查函数的性质和运用,考查定义域和值域的求法,注意运用图象和单调性解题,属于中档题.
练习册系列答案
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A. | 2π | B. | π | C. | $\frac{2π}{3}$ | D. | $\frac{π}{2}$ |