Question

13．已知x，y∈R，x²+y²=9，求T=$\sqrt{3+x}$+$\sqrt{3-y}$的最小值．

Answer 1

分析 运用圆的参数方程可得x=3cosα，y=3sinα，α∈[0，2π），即有T=$\sqrt{3+x}$+$\sqrt{3-y}$=$\sqrt{3}$（$\sqrt{1+cosα}$+$\sqrt{1-sinα}$），
再由正弦、余弦函数的值域，即可得到所求最小值．

解答 解：由x，y∈R，x²+y²=9，
可设x=3cosα，y=3sinα，α∈[0，2π），
即有T=$\sqrt{3+x}$+$\sqrt{3-y}$=$\sqrt{3+3cosα}$+$\sqrt{3-3sinα}$
=$\sqrt{3}$（$\sqrt{1+cosα}$+$\sqrt{1-sinα}$），
当sinα=1时，$\sqrt{1-sinα}$取得最小值0，$\sqrt{1+cosα}$取得最小值1，
当cosα=-1时，$\sqrt{1+cosα}$取得最小值0，$\sqrt{1-sinα}$取得最小值1，
即有$\sqrt{1+cosα}$+$\sqrt{1-sinα}$的最小值为1，
则T的最小值为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，运用圆的参数方程和正弦、余弦函数的值域，属于中档题．