Question

5．设u_n=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$，证明数列{u_n}的极限存在．

Answer 1

分析 把$\frac{1}{{n}^{2}}$放缩并裂项为$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，求其和后可得u_n=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜2-$\frac{1}{n}$．由此可得数列{u_n}的极限存在．

解答 证明：∵$\frac{1}{{n}^{2}}＜\frac{1}{（n-1）n}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$（n≥2），
∴u_n=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜1+1$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$=2-$\frac{1}{n}$．
∴当n→∞时，数列{u_n}的极限存在，等于2．

点评 本题考查数列的极限，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．