题目内容

【题目】如图，在四棱锥中，底面是长方形，侧棱底面，且，过D作于F，过F作交 PC于E.

（Ⅰ）证明：平面PBC；

（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.

【解析】【试题分析】（Ⅰ）依据题设运用直线与平面垂直的判定定理推证; （Ⅱ）依据题设条件运用二面角的平面角的定义求解或运用向量的数量积公式求解：.

解法一：（Ⅰ）因为底面，所以，

由底面为长方形，有，而，

所以. 而，所以. ………………………2分

又因为，

所以平面. 而，所以. ………………………4分

又，，所以平面. ………………………6分

（Ⅱ）如图1，在面内，延长与交于点，则是平面与平面

的交线. 由（Ⅰ）知，，所以. ………………………8分

又因为底面，所以. 而，所以.

故是面与面所成二面角的平面角， ………………………10分

在Rt△PDB中, 由 ,

故面与面所成二面角的余弦为. ………………………12分

解法二：如图2, 由，所以是平面的一个法向量； ……………………………………8分

由（Ⅰ）知，，所以是平面的一个法向量 ……………………………………10分

设平面与平面所成二面角为则，

故面与面所成二面角的余弦为. ……………………………………12分

练习册系列答案
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