题目内容

【题目】已知函数
(Ⅰ)若f(1)=0,求函数fx)的最大值;
(Ⅱ)令,讨论函数gx)的单调区间;
(Ⅲ)若a=2,正实数x1x2满足证明

【答案】(1)fx)的最大值为f(1)=0.(2)见解析(3)见解析

【解析】试题分析(Ⅰ)代入求出值,利用导数求出函数的极值,进而判断最值;(Ⅱ)求出,求出导函数,分别对参数分类讨论,确定导函数的正负,得出函数的单调性;(Ⅲ)整理方程,观察题的特点,变形得,故只需求解右式的范围即可,利用构造函数,求导的方法求出右式的最小值.

试题解析:(Ⅰ)因为,所以a=-2,此时fx)=lnx-x2+x

f'(x)=-2x+1,

f'(x)=0,得x=1,

fx)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,

故当x=1时函数有极大值,也是最大值,所以fx)的最大值为f(1)=0.

(Ⅱ)gx)=fx)-ax2-ax+1,

gx)=lnx-ax2-ax+x+1

a=0时,g'(x)>0,gx)单调递增;

a>0时,x∈(0,)时,g'(x)>0,gx)单调递增;x∈(,+∞)时,g'(x)<0,gx)单调递减;

a<0时,g'(x)>0,gx)单调递增;

(Ⅲ)当a=2时,fx)=lnx+x2+xx>0,.

fx1)+fx2)+x1x2=0,即

lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x2x1=0.

从而(x1+x22+(x1+x2)=x1x2-lnx1x2),.

t=x2x1,则由φ(t)=t-lnt得,φ'(t)=

可知,φ(t)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增.所以φ(t)≥1,

所以(x1+x22+(x1+x2)≥1,正实数x1x2

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