Question

【题目】如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD，

(1)证明：平面AEC⊥平面BED.

(2)若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E-ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）3+2.

【解析】试题分析：（1）由菱形性质得AC⊥BD.再由线面垂直性质得AC⊥BE，因此AC⊥平面BED.最后根据面面垂直判定定理得结论（2）先确定各面形状，再根据勾股定理求对应量，最后根据面积公式求各面面积，和为侧面积

试题解析：(1)因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.

因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE，又BD∩BE=B，故AC⊥平面BED.

又AC平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.

(2)设AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°，可得AG=GC=x，GB=GD=.

因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG=x.

由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE=x.

由已知得，三棱锥E-ACD的体积

VE-ACD=×AC·GD·BE=x3=.

故x=2.从而可得AE=EC=ED=.

所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为.

故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2.