题目内容

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,E,F分别为棱BB1和DD1的中点.
(1)求证:平面B1FC1平面ADE;
(2)求四面体A1-FEA的体积.
(3)若G是C1D1上靠近C1的四等分点,动点H在底面ABCD内,且AH=
1
2
,请说明点H的轨迹,并探求GH长度的最小值.
(1)∵E,F分别为棱BB1和DD1的中点,∴FDB1E,FD=B1E,
∴四边形FDEB1为平行四边形,∴DFFB1,DF?平面ADE,FB1?平面ADE,
∴FB1平面ADE,
又ADB1C1,AD?平面ADE,B1C1?平面ADE,∴B1C1平面ADE,
又FB1∩B1C1=B1,∴平面B1FC1平面ADE;
(2)连接EF、AF、A1F,A1E,
VA1-AEF=VE-A1AF=
1
3
×
1
2
×AA1×AD×AB=
1
6
×1×1×1=
1
6

(3)∵AH=
1
2
,动点H在底面ABCD内,∴点H的轨迹为
1
4
圆弧,
过G作GM⊥CD,垂足为M,∵MH≥MA-AH=
(
3
4
)
2
+12
-
1
2
=
3
4

又GH=
GH2+MH2
12+(
3
4
)
2
=
5
4

∴GH长度的最小值为
5
4

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