题目内容
已知各项均为正数的等比数列{an}的首项a1=2,Sn为其前n项和,若5S1,S3,3S2成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log2an,cn=,记数列{cn}的前n项和Tn.若对?n∈N*,Tn≤k(n+4)恒成立,求实数k的取值范围.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log2an,cn=,记数列{cn}的前n项和Tn.若对?n∈N*,Tn≤k(n+4)恒成立,求实数k的取值范围.
(1)an=2n(2)
(1)设数列{an}的公比为q,∵5S1,S3,3S2成等差数列,
∴2S3=5S1+3S2,即2(a1+a1q+a1q2)=5a1+3(a1+a1q),
化简得2q2-q-6=0,解得q=2或q=-.
因为数列{an}的各项均为正数,所以q=-不合题意,
所以数列{an}的通项公式为an=2n.
(2)由bn=log2an得bn=log22n=n,
则cn===-,
Tn=1-+-+…+-=1-=.
∵≤k(n+4),∴k≥=.
∵n++5≥2+5=9,当且仅当n=,即n=2时等号成立,
∴≤,因此k≥,故实数k的取值范围为
∴2S3=5S1+3S2,即2(a1+a1q+a1q2)=5a1+3(a1+a1q),
化简得2q2-q-6=0,解得q=2或q=-.
因为数列{an}的各项均为正数,所以q=-不合题意,
所以数列{an}的通项公式为an=2n.
(2)由bn=log2an得bn=log22n=n,
则cn===-,
Tn=1-+-+…+-=1-=.
∵≤k(n+4),∴k≥=.
∵n++5≥2+5=9,当且仅当n=,即n=2时等号成立,
∴≤,因此k≥,故实数k的取值范围为
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