题目内容
已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1,数列{bn}是首项为1,公比为b的等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.
(1) an=(2) Tn=
(1)当n=1时,a1=S1=2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+1-(n-1)2-1=2n-1.
所以an=
(2)当b=1时,anbn=
此时,Tn=2+3+5+…+(2n-1)=n2+1.
当b≠1时,anbn=
此时,Tn=2+3b+5b2+…+(2n-1)bn-1,①
两端同时乘以b,得bTn=2b+3b2+5b3+…+(2n-1)bn.②
①-②,得(1-b)Tn=2+b+2b2+2b3+…+2bn-1-(2n-1)bn=
2(1+b+b2+b3+…bn-1)-(2n-1)·bn-b=-(2n-1)bn-b,所以Tn=-.
综上所述,Tn=
所以an=
(2)当b=1时,anbn=
此时,Tn=2+3+5+…+(2n-1)=n2+1.
当b≠1时,anbn=
此时,Tn=2+3b+5b2+…+(2n-1)bn-1,①
两端同时乘以b,得bTn=2b+3b2+5b3+…+(2n-1)bn.②
①-②,得(1-b)Tn=2+b+2b2+2b3+…+2bn-1-(2n-1)bn=
2(1+b+b2+b3+…bn-1)-(2n-1)·bn-b=-(2n-1)bn-b,所以Tn=-.
综上所述,Tn=
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