Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n,且有a₁=2,S_n=2a_n-2.
(1)求数列a_n的通项公式;
(2)若b_n=na_n,求数列{b_n}的前n项和T_n.

Answer 1

(1) a_n=2ⁿ        (2) T_n=2+(n-1)·2ⁿ⁺¹

解:(1)∵S_n=2a_n-2,
∴S_n-1=2a_n-1-2(n≥2),
∴a_n=2a_n-1,
=2(n≥2).
又∵a₁=2,
∴{a_n}是以2为首项,2为公比的等比数列,
∴a_n=2·2^n-1=2ⁿ.
(2)b_n=n·2ⁿ,
T_n=1·2¹+2·2²+3·2³+…+n·2ⁿ,
2T_n=1·2²+2·2³+…+(n-1)·2ⁿ+n·2ⁿ⁺¹.
两式相减得,-T_n=2¹+2²+…+2ⁿ-n·2ⁿ⁺¹,
∴-T_n=-n·2ⁿ⁺¹=(1-n)·2ⁿ⁺¹-2,
∴T_n=2+(n-1)·2ⁿ⁺¹.