题目内容
【题目】在数列中,
,且对任意
,都有
.
(1)计算,
,
,由此推测
的通项公式,并用数学归纳法证明;
(2)若(
),求无穷数列
的前
项之和
与
的最大项.
【答案】(1),
,
.推测
,见解析
(2)前项和为
,最大项为
.
【解析】
(1)直接由所给递推公式计算,并归纳,然后用数学归纳法证明;
(2)无穷数列的前
项的和可以分成两个等比数列的和,由此可计算和,然后对
分类,其偶数项递减,奇数项递增,但所有奇数项都满足
,因此有
最大.
解:(1)∵,且对任意
,都有
.
∴,
,
.
由此推测的通项公式,
.
下面利用数学归纳法证明:
①当时,
成立;
②假设当时,
.
则时,
,
因此当时也成立,
综上:,
成立.
(2)(
),
∴,
∴无穷数列的各项之和
.
当(
)时,
,
单调递减,因此当
时,取得最大值
.
当(
)时,
,
单调递增,且
.
综上可得:的最大项为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】随着互联网金融的不断发展,很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品,如蚂蚁金服旗下的“余额宝”,腾讯旗下的“财富通”,京东旗下“京东小金库”.为了调查广大市民理财产品的选择情况,随机抽取1100名使用理财产品的市民,按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表:
分组 | 频数(单位:名) |
使用“余额宝” | |
使用“财富通” | |
使用“京东小金库” | 40 |
使用其他理财产品 | 60 |
合计 | 1100 |
已知这1100名市民中,使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多200名.
(1)求频数分布表中,
的值;
(2)已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为,“财富通”的平均年化收益率为
,“京东小金库”的平均年化收益率为
,有3名市民,每个人理财的资金有10000元,且分别存入“余额宝”“财富通”“京东小金库”,求这3名市民2018年理财的平均年化收益率;
(3)若在1100名使用理财产品的市民中,从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取5人,然后从这5人中随机选取2人,求“这2人都使用‘财富通’”的概率.
注:平均年化收益率,也就是我们所熟知的利率,理财产品“平均年化收益率为”即将100元钱存入某理财产品,一年可以获得3元利息.