题目内容
【题目】已知抛物线
：
的焦点为
，直线
与
轴的交点为
，与抛物线的交点为
，且
．
（1）求抛物线的方程；
（2）过抛物线上一点
作两条互相垂直的弦
和
，试问直线
是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）直线
恒过定点
【解析】
（1）设
，代入抛物线方程，结合抛物线的定义，可得
，进而得到抛物线方程；
（2）由题可得
，直线的斜率不为
，设直线：
，
，
，联立直线与曲线方程，由
，则
，即可得到
，
的关系式，再求出直线过定点；
解：（1）设，代入
得：
，即
由
得：
，解得：或
（舍去）
故抛物线C的方程为：.
（2）由题可得，直线的斜率不为
设直线：，，
联立
，得：
，
，
，
由，则，即
.
于是
，所以
或
当时，
直线：
，恒过定点
，不合题意，舍去.
当，
，直线：
，恒过定点
综上可知，直线恒过定点
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