Question

【题目】已知抛物线：，点为抛物线的焦点，焦点到直线的距离为，焦点到抛物线的准线的距离为，且.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若在轴上存在点，过点的直线分别与抛物线相交于，两点，且为定值，求点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）先求得点的坐标，由点到直线距离公式求得，由抛物线的定义求得，根据的值列方程，解方程求得的值，由此求得抛物线方程.（2）设点的坐标为，设直线的方程为，联立直线的方程和抛物线的方程，消去得到关于的一元二次方程，写出判别式和韦达定理.化简的表达式，根据为定值求得的值，由此求得点的坐标.

解：（1）由题意知，焦点的坐标为，则，，

又，解得：.

故抛物线的标准方程为.

（2）设点的坐标为，设点，的坐标分别为，，

显然直线的斜率不为0.

设直线的方程为.

联立方程，消去，并整理得，

则且，.

由，.

有.

若为定值，必有.

所以当为定值时，点的坐标为.