题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)求在区间
上的值域;
(2)是否存在实数,对任意给定的
,在
存在两个不同的
使得
,若存在,求出
的范围,若不存在,说出理由.
【答案】(1)(2)满足条件的
不存在,详见解析
【解析】
(1)对函数进行求导,知
在区间
上单调递增,在区间
上单调递减,由此能求出
的值域;(2)对函数
进行求导,对
进行分类讨论,当
和
时,不合题意,求出当
时,判断单调性,
,由(1)知
在
上值域为
,根据数形结合思想原题意可等价于
,解不等式即可.
(1),
时,
,
单调递增,
时,
,
单调递减,
,
,
,
∴在
上值域为
.
(2)由已知得,且
,
当时,
,
在
上单调递增,不合题意。
当时,
,
在
上单调递减,不合题意。
当时,
得
。
当时
,
单调递减,
当时,
,
单调递增,∴
.
由(1)知在
上值域为
,而
,
所以对任意,在区间
上总有两个不同的
,使得
.
当且仅当,即
,
由(1)得.
设,
,
,
当,
,
单调递减,∴
.
∴无解.
综上,满足条件的不存在.
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