Question

(本小题满分15分)
如图，椭圆方程为，为椭圆上的动点，为椭圆的两焦点，当点不在轴上时，过作的外角平分线的垂线,垂足为，当点在轴上时，定义与重合。

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）已知、，试探究是否存在这样的点：点是轨迹内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且的面积？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由。

Answer 1

解：(Ⅰ)当点P不在轴上时，延长与的延长线相交于点N，连结OM，
,,是线段的中点，
………………………………………………………………………2分
。
点P在椭圆上，。…………………………4分
当点P在轴上时，M与P重合，
M点的轨迹方程为。……………………………………………6分
 
（Ⅱ）连结OE，易知轨迹T上有两个点，满足,
分别过A,B作直线OE的两条平行线，同底等高的两个三角形的面积相等，
∴符合条件的点均在直线、上。……………………………………………7分
∵  ∴直线、的方程分别为：、。…8分
设点 （ ）∵在轨迹T内，∴。…………9分
分别解与
得 与………………………………………………11分
∵∴为偶数，在上对应的
在上，对应的…………………………13分
∴满足条件的点存在，共有6个，它们的坐标分别为：
………………………15分

略