Question

已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x²+3y²=4上，对角线BD所在直线的斜率为l.
（Ⅰ）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；
（Ⅱ）当∠ABC=60°，求菱形ABCD面积的最大值.

Answer 1

解： （Ⅰ）由题意得直线BD的方程为y=x+1.
因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
于是可设直线AC的方程为y=-x+n.
由得
因为A，C在椭圆上，
所以△＝-12n²+64＞0，解得
设A，C两点坐标分别为（x₁,y₁），(x₂,y₂)，
则
所以
所以AC的中点坐标为
由四边形ABCD为菱形可知，点在直线y=x+1上，
所以，解得n=-2．
所以直线AC的方程为，即x+y+2=0．
（Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且,
所以
所以菱形ABCD的面积
由（Ⅰ）可得
所以
所以当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值.

略