题目内容
(本小题满分14分)
如图,已知椭圆的离心率为,短轴的一个端点到右焦点的距离为.设直线与椭圆相交于两点,点关于轴对称点为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若以线段为直径的圆过坐标原点,求直线的方程;
(3)试问:当变化时,直线与轴是否交于一个定点?若是,请写出定点的坐标,并证明你的结论;若不是,请说明理由.
如图,已知椭圆的离心率为,短轴的一个端点到右焦点的距离为.设直线与椭圆相交于两点,点关于轴对称点为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若以线段为直径的圆过坐标原点,求直线的方程;
(3)试问:当变化时,直线与轴是否交于一个定点?若是,请写出定点的坐标,并证明你的结论;若不是,请说明理由.
解:(1)由题意可得,解得
所以椭圆的方程为…………(4分)
(2)由
设,则…………(5分)
因为以线段为直径的圆过坐标原点,即
所以,
………………(7分)
所以
,
故所求直线的方程为…………(9分)
(3)由(2)知:
则直线的方程为,令,得…………(11分)
…………(13分)
这说明,当变化时,直线与轴交于定点…………(14分)
所以椭圆的方程为…………(4分)
(2)由
设,则…………(5分)
因为以线段为直径的圆过坐标原点,即
所以,
………………(7分)
所以
,
故所求直线的方程为…………(9分)
(3)由(2)知:
则直线的方程为,令,得…………(11分)
…………(13分)
这说明,当变化时,直线与轴交于定点…………(14分)
略
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