题目内容

11.已知函数f(x)为R上的增函数,函数图象关于点(3,0)对称,若实数x,y满足$f({x^2}-2\sqrt{3}x+9)+f({y^2}-2y)≤0$,则$\frac{y}{x}$的取值范围是[0,$\sqrt{3}$].

分析 由函数图象关于点(3,0)对称将条件进行转化,结合直线斜率的几何意义以及点到直线的距离公式进行求解即可.

解答 解:∵函数y=f(x)的图象关于点(3,0)对称,
∴f(x+3)=-f(3-x),
即f(x+6)=-f(-x),即f(-x+6)=-f(x),
∵f(x2-$2\sqrt{3}$x+9)+f(y2-2y)≤0,
∴f(x2-$2\sqrt{3}$x+9)≤-f(y2-2y)=f[6-(y2-2y)],
∵函数y=f(x)是定义在R上的增函数,
∴得x2-$2\sqrt{3}$x+9≤6-(y2-2y),
化简配方得(x-$\sqrt{3}$)2+(y-1)2≤1,
∴圆心为($\sqrt{3}$,1),半径为1,
$\frac{y}{x}$的几何意义为圆上动点到原点得斜率,
设k=$\frac{y}{x}$.则y=kx,即kx-y=0,
则满足圆心到直线的距离d=$\frac{|\sqrt{3}k-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≤1,
平方得为k2-$\sqrt{3}$k≤0,
解得0≤k≤$\sqrt{3}$,
∴0≤$\frac{y}{x}$≤$\sqrt{3}$,
∴$\frac{y}{x}$的取值范围是[0,$\sqrt{3}$].
故答案为:[0,$\sqrt{3}$]

点评 本题考查不等式的求解,利用抽象函数的性质,将不等式进行转化,结合函数的奇偶性、单调性及圆的有关知识是解决本题的关键.

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