Question

11．已知函数f（x）为R上的增函数，函数图象关于点（3，0）对称，若实数x，y满足$f（{x^2}-2\sqrt{3}x+9）+f（{y^2}-2y）≤0$，则$\frac{y}{x}$的取值范围是[0，$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 由函数图象关于点（3，0）对称将条件进行转化，结合直线斜率的几何意义以及点到直线的距离公式进行求解即可．

解答 解：∵函数y=f（x）的图象关于点（3，0）对称，
∴f（x+3）=-f（3-x），
即f（x+6）=-f（-x），即f（-x+6）=-f（x），
∵f（x²-$2\sqrt{3}$x+9）+f（y²-2y）≤0，
∴f（x²-$2\sqrt{3}$x+9）≤-f（y²-2y）=f[6-（y²-2y）]，
∵函数y=f（x）是定义在R上的增函数，
∴得x²-$2\sqrt{3}$x+9≤6-（y²-2y），
化简配方得（x-$\sqrt{3}$）²+（y-1）²≤1，
∴圆心为（$\sqrt{3}$，1），半径为1，
$\frac{y}{x}$的几何意义为圆上动点到原点得斜率，
设k=$\frac{y}{x}$．则y=kx，即kx-y=0，
则满足圆心到直线的距离d=$\frac{|\sqrt{3}k-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≤1，
平方得为k²-$\sqrt{3}$k≤0，
解得0≤k≤$\sqrt{3}$，
∴0≤$\frac{y}{x}$≤$\sqrt{3}$，
∴$\frac{y}{x}$的取值范围是[0，$\sqrt{3}$]．
故答案为：[0，$\sqrt{3}$]

点评 本题考查不等式的求解，利用抽象函数的性质，将不等式进行转化，结合函数的奇偶性、单调性及圆的有关知识是解决本题的关键．