Question

16．（Ⅰ）已知0＜α＜π，sin αcos α=-$\frac{60}{169}$，求sinα-cosα的值；
（Ⅱ）已知sinθ+cosθ=m，求sin³θ+cos³θ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由0＜α＜π，sinαcosα的值小于，判断得到sinα-cosα的值为正数，利用完全平方公式及同角三角函数基本关系求出sinα-cosα的值即可；
（Ⅱ）把已知等式两边平方求出sinθcosθ的值，原式利用立方和公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．

解答 解：（Ⅰ）∵0＜α＜π，sinαcosα=-$\frac{60}{169}$，
∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα-cosα＞0，
∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=$\frac{289}{169}$，
则sinα-cosα=$\frac{17}{13}$；
（Ⅱ）∵sinθ+cosθ=m，
∴（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ=m²，即sinθcosθ=$\frac{{m}^{2}-1}{2}$，
则原式=（sinθ+cosθ）（sin²θ+cos²θ-sinθcosθ）=（sinθ+cosθ）（1-sinθcosθ）=m（1-$\frac{{m}^{2}-1}{2}$）=$\frac{3m-{m}^{3}}{2}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的应用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．