Question

3．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过C（-1，0）点且斜率为1的直线1与椭圆交于P、Q两点，满足$\overrightarrow{PC}$=3$\overrightarrow{CQ}$，
（I）求该椭圆方程；
（Ⅱ）若直线m过点（1，0）且与椭圆交于A、B两点．求△ABC内切圆半径的最大值．

Answer 1

分析 （I）运用椭圆的离心率公式和直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）根据直线m过椭圆的右焦点，利用椭圆的定义得出△ABC的周长是4a，而根据平面几何知识知：△ABC的面积是周长的一半乘以内切圆半径，结合图形即可得出何时△ABC面积最大即可．

解答 解：（I）由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得a=$\sqrt{2}$b=$\sqrt{2}$c，
直线l：y=x+1代入椭圆方程可得（b²+a²）x²+2a²x+a²-a²b²=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=-$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=-$\frac{4}{3}$，x₂x₁=$\frac{{a}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{2-2{b}^{2}}{3}$，
由$\overrightarrow{PC}$=3$\overrightarrow{CQ}$，可得-1-x₁=3（x₂+1），
解方程可得x₁=0，x₂=-$\frac{4}{3}$，b=1，
则a=$\sqrt{2}$，即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）椭圆的焦点为（-1，0），（1，0），
直线m过右焦点，C为左焦点，
由椭圆的定义可得△ABC的周长是4a=4$\sqrt{2}$，
而△ABC的面积是周长的一半乘以内切圆半径r，
即有面积为$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$r，
又当直线m为x=1时，△ABC面积最大，且为$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\sqrt{2}$，
即有△ABC内切圆半径的最大值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用直线和椭圆方程联立，由韦达定理和向量共线的坐标表示，考查三角形的内切圆半径的最大值，注意运用等积法，由椭圆的定义和面积公式，属于中档题．