Question

已知f（x）是偶函数，且在（-∞，0）上递减，若x∈[

1

2

，1]时，f（ax+1）≤f（x+2）恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．[-4，2]

B．（-∞，2]

C．[-4，+∞）

D．[-4，-2]

Answer 1

因为f（x）是偶函数，故有f（x）=f（-x）=f（|x|）
所以f（ax+1）≤f（x+2）在 x∈[

1

2

，1]上恒成立?f（|ax+1|）≤f（|x+2|）在 x∈[

1

2

，1]上恒成立①；
又因为在[0，+∞）上是增函数，
故①式转化为|ax+1|≤|x+2|在 x∈[

1

2

，1]上恒成立⇒（a²-1）x²+2（a-2）x-3≤0②；
在 x∈[

1

2

，1]上恒成立．
a=1时，②转化为-2x-3≤0⇒x≥-

3

2

成立；
a=-1时，②转化为2x+1≥0⇒x≥-

1

2

成立；
|a|＞1时，得a²-1＞0，②转化为

(a2-1)×( 1 2 )2+2(a-2)× 1 2 -3≤0 (a2-1)×1+2(a-2)×1-3≤0

，
⇒-4≤a≤2（a≠±1）．
综上得：实数a的取值范围为[-4，2]．
故选A．