题目内容
【题目】已知以 为一条渐近线的双曲线C的右焦点为
.
(1)求该双曲线C的标准方程;
(2)若斜率为2的直线l在双曲线C上截得的弦长为 ,求l的方程.
【答案】
(1)解:由抛物线的焦点在x轴上,设双曲线的标准方程: (a>0,b>0),
由c= ,渐近线方程:y=±
x,
∴ =
,即
,即2a2=3b2,
由c2=a2﹣b2=5,解得:a2=3,b2=2,
∴双曲线C的标准方程
(2)解:设l:y=2x+m,与双曲线的交点为:M(x1,y1),N(x2,y2).
则 ,整理得:10x2+12mx+3m2+6=0,
由韦达定理可知:
∴ ,
解得, .
∴l的方程
【解析】(1)设双曲线的标准方程: (a>0,b>0),由c=
,渐近线方程:y=±
x,
,由c2=a2﹣b2=5,即可求得a和b的值,求得双曲线的标准方程;(2)设l:y=2x+m,代入双曲线方程,利用韦达定理及弦长公式即可求得m的值,即可求得l的方程.
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