Question

【题目】设函数f（x）=4x+a2x+b，
（1）若f（0）=1，f（﹣1）=﹣ ，求f（x）的解析式；
（2）由（1）当0≤x≤2时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=4x+a2x+b，

∵f（0）=1，f（﹣1）=﹣ ，

则有 ，

解得：a=3，b=﹣3．

故得f（x）的解析式为：f（x）=4x+32x﹣3．

（2）解：由（1）可知f（x）=4x+32x﹣3，

设t=2x，

∵0≤x≤2，

∴1≤t≤4

函数f（x）转化为：y=t2+3t﹣3，（1≤t≤4），

函数y开口向上，对称轴t=﹣

易知函数t∈[1，4]上递增，

故当t=1时，有最小值为1；当t=4时，有最大值为25．

故得当0≤x≤2时，函数f（x）的值域为[1，25]．

【解析】（1）根据f（0）=1，f（﹣1）=﹣ ，带入f（x）=4x+a2x+b，求解a，b即可得f（x）的解析式．（2）利用换元法，转化为二次函数，根据单调性求解值域．
【考点精析】本题主要考查了函数的值域的相关知识点，需要掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的才能正确解答此题．