题目内容
【题目】对于任意给定的无理数及实数
,圆周
上的有理点的个数情况是()
A. 至多一个 B. 至多两个 C. 至少两个,个数有限 D. 无数多个
【答案】B
【解析】
对于点,用
表示上述圆周上有理点的个数.
首先,作一个符合条件的圆,其上至少有两个有理点.
为此,取点,线段
中垂线
的方程为
.在垂线
上取点
,再取
.则以
为圆心、
为半径的圆周上至少有
这两个有理点.
其次,说明对于任何无理点以及任意正实数
,都有
.
为此,假设有无理点及正实数
,在以
为圆心、
为半径的圆周上至少有三个有理点
(
为有理数,
).则
.
据前一等式得,①
据后一等式得.②
则为有理数.
若,则由式①得
.
由为无理数得
.
故共点,矛盾.
同理,若,可得
共点,矛盾.
若,
,由式①、②消去
得
为有理数.
因为无理数,所以,
.
从而,.
则三点共线,这与
三点共圆矛盾.
因此,所设不真,即这种圆上至多由两个有理点.
于是,对于所有的无理点及所有正实数
,
的最大值为2. 选B.
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