题目内容
【题目】已知函数,其中,a为实数.
(1)当函数的图像在
上与x轴有唯一的公共点时,求实数a的取值范围;
(2)当时,求函数
在
上的最大值与最小值.
【答案】(1),或
,或
;(2)最大值为
,最小值为
【解析】
由已知有.
(1)由函数的图像与x轴公共点的横坐标是二次方程
的实数根得
.
下面分三种情形讨论.
(i)当时,有
.
进而,是函数
的图像在
上与x轴的唯一公共点,故
为所求.
(ii)当时,有
.进而,
.
又由函数的图像在
上与x轴有唯一的公共点,得
,即
.解得
.
(iii)当时,有
.进而,
.
又由函数的图像在
上与x轴有唯一的公共点,得
,即
.解得
.
所以,实数a的取值范围为,或
,或
.
(2)当时,有
,且
的两个根为
,只有
在
上.
则在
上单调递减,在
上单调递增,且
.
因此,函数在
上的最大值为
,最小值为
.
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