题目内容

【题目】求满足下列条件的最小正整数t,对于任何凸n边形,只要,就一定存在三点,使的面积不大于凸n边形面积的.

【答案】6

【解析】

先证明一个引理.

引理 对任何凸六边形,都存在,使,其中,S为凸六边形的面积.

引理的证明:如图,设交于点PQR(可能重合),联结.

由于6个三角形的面积之和不大于S,其中必有一个三角形的面积不大于.

回到原题.

t=345时,正三角形、正方形、正五边形分别不符合条件,所以,.

下面证明:当时,对任何凸n边形,都存在,使

其中,S为凸n边形的面积.

实际上,当n=6时,由引理,结论成立.

设n=k时,结论成立.

n=k+1时,联结.

如果,则结论成立.

如果,则.

由归纳假设,必有,使.

结论成立.

综上所述,t的最小值为6.

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