题目内容
【题目】如图所示,在四棱锥中,
平面
,
,
,AP=AD=2AB=2BC,点
在棱
上.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)当平面
时,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见证明;(2)
【解析】
(I)设中点为
,连接
、
.设出
的边长,通过计算证明
,根据已知得到
,由此证得
平面
,从而证得
.(II)以
为空间坐标原点建立空间直角坐标系,利用
平面
计算出
点的坐标,根据直线
的方向向量和平面
的法向量计算出线面角的正弦值.
(Ⅰ)设中点为
,连接
、
.由题意
.
∵,∴四边形
为平行四边形,又
,∴
为正方形.
设,在
中,
,又
,
.
∴,∴
.
∵平面
,
平面
,∴
.
∵,
平面
,且
,∴
平面
.
∵平面
,∴
.
(Ⅱ)因为平面
,所以
,
,又
,故
,
,
两两垂直,以
为坐标原点,分别以
,
,
所在直线为
轴,
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系
.
由(Ⅰ)所设知,则
,
,
,
.
由已知平面
,∴
,设
,则
.
,∵
,∴
,
,
∴.
设平面的法向量
,则
令,得
.
设所求的角为,
.
所以直线与平面
所成角的正弦值为
.
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