题目内容
【题目】已知函数在
处取得极值,且在
处的切线的斜率为
.
(1) 求的解析式;
(2) 求过点的切线方程.
【答案】(1);(2)
或
.
【解析】试题分析:(1)由函数在
处取得极值,且在
处的切线的斜率为
,求出导函数,可得
是
的两根,且
,解方程组即可求得
的值,从而求得
的解析式;(2)设切点,求切线方程,将点
切线方程得到
,解方程可得
,从可得切线斜率,运用点斜式方程,进而得到所求切线的方程.
试题解析:(1)函数f(x)=ax3+bx2+cx的导数为f'(x)=3ax2+2bx+c, 依题,
又f'(0)=﹣3即c=﹣3 ∴a=1,b=0, ∴f(x)=x3﹣3x
(2)解:设切点为(x0 , x03﹣3x0), ∵f'(x)=3x2﹣3∴切线的斜率为f'(x0)=3x02﹣3,∴切线方程为y﹣(x03﹣3x0)=(3x02﹣3)(x﹣x0),
又切线过点A(2,2),
∴2﹣(x03﹣3x0)=(3x02﹣3)(2﹣x0),
∴2x03﹣6x02+8=0,即为2(x0+1)(x0﹣2)2=0, 解得x0=﹣1或2,
可得过点A(2,2)的切线斜率为0或9,
即有过点A(2,2)的切线方程为y﹣2=0或y﹣2=9(x﹣2),
即为y﹣2=0或9x﹣y﹣16=0 .
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