题目内容
【题目】如图所示,正方体的棱长为
,
分别是棱
,
的中点,过直线
的平面分别与棱
.
交于
,设
,
,给出以下四个命题:
①平面
平面
;②当且仅当
时,四边形
的面积最小; ③四边形
周长
,
是单调函数;④四棱锥
的体积
为常函数;
以上命题中真命题的序号为___________.
【答案】①②④
【解析】
试题
①连接,在正方体
中,
平面
,所以
平面
平面
,所以①是真命题;②连接MN,因为
平面
,所以
,四边形MENF的对角线EF是定值,要使四边形MENF面积最小,只需MN的长最小即可,当M为棱的中点时,即当且仅当
时,四边形MENF的面积最小;③因为
,所以四边形
是菱形,当
时,
的长度由大变小,当
时,
的长度由小变大,所以周长
,
是单调函数,是假命题;④连接
,把四棱锥分割成两个小三棱锥,它们以
为底,
为顶点,因为三角形
的面积是个常数,
到平面
的距离也是一个常数,所以四棱锥
的体积
为常函数;命题中真命题的序号为①②④.
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