题目内容
【题目】已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Sn为数列{ 
}的前n项和，求证：1≤Sn＜4．
【答案】
（1）解：由a1=1，an+1=2an+1（n∈N*），
可得an+1+1=2（an+1），
即有数列{an+1}为首项为2，公比为2的等比数列，
则an+1=2n，即为an=2n﹣1
（2）解：证明： 
= 
=n（ 
）n﹣1，
前n项和Sn=11+2 +3 
+…+n（ ）n﹣1，
Sn=1 +2 +3 
+…+n（ ）n，
两式相减可得， Sn=1+ + + +…+（ ）n﹣1﹣n（ ）n，
= 
﹣n（ ）n，
化简可得前n项和Sn=4﹣（2n+4）（ ）n．
由 
= 
＜1，
可得（2n+4）（ ）n为递减数列，
则Sn为递增，则Sn≥S1=1，且Sn＜4．
即有1≤Sn＜4．
【解析】（1）由题意可得an+1+1=2（an+1），运用等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；（2）求出 = =n（ ）n﹣1 ， 再由数列的求和方法：错位相减法，结合数列的单调性，即可得证．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系
；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．
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