Question

15．已知函数f（x）=3cos²$\frac{ωx}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinωx-\frac{3}{2}$（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，点A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且三角形ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$π．
（1）求ω的值及函数f（x）的值域；
（2）若f（x₀）=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$，x₀∈（$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$），求f（x₀+$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，可得A点的纵坐标和BC=$\frac{T}{2}$的值．再根据三角形ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$π，求得ω 的值，可得 f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），由此求得函数f（x）的值域．
（2）由f（x₀）=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$，可得sin（2x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$．由 x₀∈（$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$）求得cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）的值，可得f（x₀+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）的值．

解答 解：（1）函数f（x）=3cos²$\frac{ωx}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinωx-\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}（1+cosωx）$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx-$\frac{3}{2}$=$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosωx+$\frac{1}{2}$sinωx）=$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{3}$），
故A点的纵坐标为$\sqrt{3}$，BC=$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$．
根据三角形ABC的面积为$\frac{1}{2}$•$\frac{π}{ω}$•$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$π，可得ω=2，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），故函数f（x）的值域为[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]．
（2）由f（x₀）=$\sqrt{3}$sin（2x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$，可得sin（2x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$．
由 x₀∈（$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$），可得2x₀+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{6}$ ），∴cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{3}{5}$，
故f（x₀+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$sin[2（x₀+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=$\sqrt{3}$sin（2x₀+$\frac{2π}{3}$）=$\sqrt{3}$cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$×（-$\frac{3}{5}$）=-$\frac{3\sqrt{3}}{5}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数、余弦函数的定义域和值域，属于中档题．