题目内容
7.已知数列{an}的前n项和Sn=n2.(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}的前n项和Tn.
分析 (1)利用Sn+1-Sn可知an+1=2(n+1)-1,进而可得结论;
(2)通过(1)可知$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=(2n-1)•$\frac{1}{{2}^{n}}$,利用错位相减法计算即得结论.
解答 解:(1)∵Sn=n2,
∴an+1=Sn+1-Sn=(n+1)2-n2=2(n+1)-1,
又∵a1=S1=1满足上式,
∴数列{an}的通项公式an=2n-1;
(2)由(1)可知$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=(2n-1)•$\frac{1}{{2}^{n}}$,
∴Tn=1•$\frac{1}{{2}^{1}}$+3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+5•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+(2n-1)•$\frac{1}{{2}^{n}}$,
$\frac{1}{2}$Tn=1•$\frac{1}{{2}^{2}}$+3•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+(2n-3)•$\frac{1}{{2}^{n}}$+(2n-1)•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$,
两式相减得:$\frac{1}{2}$Tn=$\frac{1}{{2}^{1}}$+2[$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$]-(2n-1)•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{2}$+2•$\frac{\frac{1}{4}(1-\frac{1}{{2}^{n-1}})}{1-\frac{1}{2}}$-(2n-1)•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=-$\frac{n}{{2}^{n}}$-$\frac{3}{{2}^{n+1}}$+$\frac{3}{2}$,
∴Tn=2(-$\frac{n}{{2}^{n}}$-$\frac{3}{{2}^{n+1}}$+$\frac{3}{2}$)=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$.
点评 本题考查数列的通项及前n项和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.
A. | -3 | B. | -$\frac{1}{2}$ | C. | 2 | D. | $\frac{1}{3}$ |
A. | ($-\frac{1}{8},-1)$ | B. | ($\frac{1}{4},3)$ | C. | $(\frac{1}{8},1)$ | D. | $(-\frac{1}{4},-3)$ |
A. | π | B. | 2π | C. | 1 | D. | 2 |
A. | [1,7] | B. | [1,6] | C. | [-1,1] | D. | [0,6] |