题目内容
【题目】定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆
．
（1）若椭圆
，判断
与
是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；
（2）写出与椭圆相似且短半轴长为
的椭圆
的方程；若在椭圆上存在两点
、
关于直线
对称，求实数的取值范围．
【答案】(1)相似;相似比为
;(2)
;
.
【解析】
(1)分别求出两个椭圆的特征三角形的腰长
和底边长2
,进而求出两个椭圆的相似比;
(2)由题意易得与椭圆
与椭圆
的相似比为1:
,进而可求得椭圆得长半轴长,即可得椭圆的方程为;设直线方程
为
,联立直线方程和椭圆的方程消元化简，借助于与的交点关于
对称和根的判别式大于零,可求得的取值范围.
(1)由题意知:椭圆的特征三角形是腰长为
=2,底边长2
=2
的等腰三角形; 椭圆
的特征三角形是腰长为
=4,底边长2
=4的等腰三角形,则由
,得两个三角形相似,所以可得椭圆与椭圆相似,且相似比为;
(2)由椭圆和椭圆相似,且短半轴长分别为1和,可得相似比为1:
,则可得椭圆的长半轴长为2,所以椭圆的方程为:
;
由题意设直线
为,点M
,N
,中点坐标为(
),
联立
消元化简得:
∴
∴
,
, ∴中点坐标为(
,
)
由中点在直线上,可得
=+1,解得
=
,
由直线与椭圆有两个不同的交点得
,
代入=解得
.
故实数的取值范围为
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