题目内容
【题目】已知,(其中常数
).
(1)当时,求函数
的极值;
(2)若函数有两个零点
,求证:
.
【答案】(1)有极小值
,无极大值;(2)证明见解析.
【解析】
(1)求出a=e的函数的导数,求出单调区间,即可求得极值;(2)先证明:当f(x)≥0恒成立时,有 0<a≤e成立.若,则f(x)=ex﹣a(lnx+1)≥0显然成立;若
,运用参数分离,构造函数通过求导数,运用单调性,结合函数零点存在定理,即可得证.
函数的定义域为
,
(1)当时,
,
,
在
单调递增且
当时,
,所以
在
上单调递减;
当时,
,则
在
上单调递增,
所以有极小值
,无极大值.
(2)先证明:当恒成立时,有
成立
若,则
显然成立;
若,由
得
,令
,则
,
令,由
得
在
上单调递增,
又∵,所以
在
上为负,递减,在
上为正,递增,∴
,从而
.
因而函数若有两个零点,则
,所以
,
由得
,则
,
∴在
上单调递增,∴
,
∴在
上单调递增∴
,则
∴,由
得
,
则,∴
,综上
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目