题目内容
【题目】如图,底面是平行四边形的四棱锥中,点
是线段
上的点,
平面
,
平面
,
,
,
.
(1)求证:点是
中点;
(2)求证:平面平面
;
(3)求三棱锥底面
上的高.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)
【解析】
(1)连接交
于
点,连接
,即可证明
,由
是
中点,即可证明点
是
中点;
(2)根据题意,可证明,且
即可证明
平面
.由平面与平面垂直的判定定理即可证明平面
平面
;
(3)根据题意,可知平面
,从而求得
、
和
,从可得
.利用等体积法即可求得棱锥
底面
上的高.
(1)证明:连接交
于
点,连接
,如下图所示:
因为四边形是平行四边形,故
是
中点,
又平面
,
平面
,平面
平面
,
则,
又是
中点,
则是
中点.
(2)因为平面
,又
平面
,
所以,
又,
,则
平面
,
又平面
,
所以平面平面
.
(3)由题意可知平面
,又
所以平面
,
又,
则,
,
则,则
,
设三棱锥底面
上的高为
,
则,
另一方面,
故
所以解得.

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