题目内容
【题目】已知数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=(n∈N*)
(Ⅰ)证明当n≥2时,数列{nan}是等比数列,并求数列{an}的通项an;
(Ⅱ)求数列{n2an}的前n项和Tn;
(Ⅲ)对任意n∈N*,使得 恒成立,求实数λ的最小值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)要证明数列{nan}是等比数列,应先求其通项公式,然后用等比数列定义证明即可。由等比数列通向公式可求得数列{nan}的通项公式,进而可求数列{an}的通项an;(Ⅱ)要求数列{n2an}的前n项和Tn,应根据(Ⅰ)的结果求其通项公式,由通项公式的特点可用错位相减法求数列从第二项到第n项的和,再加第一项可得结果;(Ⅲ) 根据(Ⅰ)的结果,不等式
可变为
,利用基本不等式,可求得不等式右边的最大值为
。可求实数λ的最小值为
。
(Ⅰ)[证明]:由a1+2a2+3a3+…+nan=,得a1+2a2+3a3+…+(n﹣1)an﹣1=
(n≥2),
①﹣②:,即
(n≥2),∴当n≥2时,数列{nan}是等比数列,
又a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=,得a2=1,则2a2=2,∴
,
∴(n≥2),∴
;
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知,
∴Tn=1+2×2×30+2×3×31+2×4×32+…+2n×3n﹣2,则,
两式作差得:,得:
;
(Ⅲ)解:由≤(n+6)λ,得
≤(n+6)λ,
即对任意n∈N*恒成立.
当n=2或n=3时n+有最小值为5,
有最大值为
,故有λ≥
,∴实数λ的最小值为
.
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【题目】(本题14分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗
(吨)标准煤的几组对照数据:
3 | 4 | 5 | 6 | |
2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)请画出上表数据的散点图;并指出x,y 是否线性相关;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于
的线性回归方程
;
(3)已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤,试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤?
(参考:用最小二乘法求线性回归方程系数公式,
)