题目内容
【题目】如图,在正方体ABCD-ABCD中,平面垂直于对角线AC,且平面
截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为S,周长为l,则( )
A. S为定值,l不为定值 B. S不为定值,l为定值
C. S与l均为定值 D. S与l均不为定值
【答案】B
【解析】
将正方体切去两个正三棱锥和
,得到一个几何体
,
是以平行平面
和
为上下底,每个侧面都是直角等腰三角形,截面多边形的每一条边分别与
的底面上的一条边平行,设正方体棱长为
,
,可求得六边形的周长为
与
无关,即周长为定值;当
都在对应棱的中点时,
是正六边形,计算可得面积
,当
无限趋近于
时,
的面积无限趋近于
,从而可知
的面积一定会发生变化。
设平面截得正方体的六个表面得到截面六边形为
,
与正方体的棱的交点分别为
(如下图),
将正方体切去两个正三棱锥和
,得到一个几何体
,
是以平行平面
和
为上下底,每个侧面都是直角等腰三角形,截面多边形
的每一条边分别与
的底面上的一条边平行,设正方体棱长为
,
,则
,
,故
,同理可证明
,故六边形
的周长为
,即周长为定值;
当都在对应棱的中点时,
是正六边形,计算可得面积
,三角形
的面积为
,当
无限趋近于
时,
的面积无限趋近于
,故
的面积一定会发生变化,不为定值。
故答案为B.
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