题目内容
【题目】如图已知椭圆,
是长轴的一个端点,弦
过椭圆的中心
,且
,
.
(Ⅰ)求椭圆的方程:
(Ⅱ)设为椭圆上异于
且不重合的两点,且
的平分线总是垂直于
轴,是否存在实数
,使得
,若存在,请求出
的最大值,若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)易知根据条件确定
形状,即得C坐标,代入椭圆方程可得
,(Ⅱ)即先判断
是否成立,设
的直线方程,与椭圆联立方程组解得
坐标,根据
、
关系可得
坐标,利用斜率坐标公式即得
斜率,进而判断
成立,然后根据两点间距离公式计算
长度最大值,即可得
的最大值.
(Ⅰ)∵, ∴
又,即
,2
∴是等腰直角三角形
∵, ∴
因为点在椭圆上,∴
∴
∴所求椭圆方程为
(Ⅱ)对于椭圆上两点、
,∵
的平分线总是垂直于
轴
∴与
所在直线关于
对称,设
且
,则
,
则的直线方程
①
的直线方
②
将①代入得
③
∵在椭圆上,∴
是方程③的一个根,∴
以替换
,得到
.
因为,所以
span>∴
∴
,∴存在实数
,使得
当时即
时取等号,
又,
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