Question

10．过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|=8，则p=2．

Answer 1

分析 设直线AB的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可得x₁+x₂．再利用弦长公式|AB|=x₁+x₂+p，即可得到p．

解答 解：抛物线y²=2px的焦点F（$\frac{p}{2}$，0），准线方程为x=-$\frac{p}{2}$
∴直线AB的方程为y=x-$\frac{p}{2}$，
代入y²=2px可得x²-3px+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0
∴x_A+x_B=3p，
由抛物线的定义可知，AB=AF+BF=x_A+x_B+p=4p=8
∴p=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，考查直线与抛物线相交问题、焦点弦长问题、弦长公式，属于中档题．