Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系中的原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（为实数.）

（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若曲线与曲线有公共点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）， ， （2）

【解析】试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线的普通方程，注意参数对自变量范围的限制，再根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）联立直线方程与抛物线段方程，求出相切时以及过端点时的取值，结合图像确定的取值范围.

试题解析：解：（Ⅰ）因为，所以．

由

平方得：

又

两式相减得，

故曲线的普通方程为， ．

另由得的直角坐标方程为．

（Ⅱ）如图，当直线过点时， ；

当直线与相切时，

由得

由得，

从而，曲线与曲线有公共点时， ．